Question

如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
（3）有一個(gè)小蟲從點(diǎn)A開始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC中點(diǎn)M，連AM、DM，由△ABC及△BCD均為正三角形，可得BC⊥AM，BC⊥DM；進(jìn)而可得BC⊥平面ADM，由線面垂直的性質(zhì)可得證明；
（2）取BC中點(diǎn)M，連接EM，并取AC的中點(diǎn)Q，連QE，QM，根據(jù)線面平行的判定定理可得：EQ∥平面ABD，MQ∥平面ABD，再結(jié)合面面平行的判定定理得到：平面QEM∥平面ABD，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡為線段QM．
（2）由題意可得：小蟲共走過了4條棱，并且得到基本事件總數(shù)為81，再分別討論當(dāng)小蟲走第1條棱時(shí)，第2條棱，第3條棱的所有走法，即可得到小蟲走12cm后仍回到A點(diǎn)的所有走法為21種，進(jìn)而根據(jù)等可能事件的概率公式求出答案．
解答：解：（1）證明：取BC中點(diǎn)M，連AM、DM，
因△ABC及△BCD均為正三角形，故BC⊥AM，BC⊥DM．
因AM，DM為平面ADM內(nèi)的兩條相交直線，
故BC⊥平面ADM，于是BC⊥AD．
（2）連接EM，并取AC的中點(diǎn)Q，連QE，QM．于是EQ∥AD，故EQ∥平面ABD．
同理MQ∥平面ABD．
因EQ，MQ為平面QEM內(nèi)的兩條相交直線，
故平面QEM∥平面ABD，從而點(diǎn)P的軌跡為線段QM．       
（3）依題設(shè)小蟲共走過了4條棱，每次走某條棱均有3種選擇，
故所有等可能基本事件總數(shù)為3⁴=81．                                
走第1條棱時(shí)，有3種選擇，不妨設(shè)走了AB，然后走第2條棱為：或BA或BC或BD．
若第2條棱走的為BA，則第3條棱可以選擇走AB，AC，AD，計(jì)3種可能；
若第2條棱走的為BC，則第3條棱可以選擇走CB，CD，計(jì)2種可能；
同理第2條棱走BD時(shí)，第3棱的走法亦有2種選擇．                     
故小蟲走12cm后仍回到A點(diǎn)的選擇有3×（3+2+2）=21種可能．
于是，所求的概率為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率、線線垂直、線面平行的性質(zhì)與判定，是一道綜合題；解題時(shí)要注意結(jié)合三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行概率計(jì)算．