已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（　�。�
分析：畫出立體圖形，根據(jù)中點找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角來計算．．
解答：解：如圖，連接BN，取BN的中點K，連接FK，則MK∥CN，故∠AMKF即為所求的異面直線角或者其補角．
設這個正四面體的棱長為2，在△AKM中，AM=
3
=CN，MK=
1
2
CN=
3
2
．
AK=
AN2+KN2
=
12+(
3
2
)2
=
7
2
．
∴cos∠AMK=
AM2+MK2 -AK2
2AM•MK
=
3+
3
4
-
7
4
2×
3
× 
3
2
=
2
3
．
∴sin∠AMK=
1-cos 2∠AFK
=
1-(
2
3
)2
=
5
3
，
∴tan∠AMK=
sin∠AMK
cos∠AMK
=
5
3
2
3
=
5
2
．
故選A．
點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關鍵技巧．本題易錯點在于要看清是求異面直線AF=M和CN所成角的正切值，而不是余弦值．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H．設四面體EFGH的表面積為T，則
T
S
等于（　�。�
A、
1
9
B、
4
9
C、
1
4
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正四面體ABCD的各棱長為a，
（1）求正四面體ABCD的表面積；
（2）求正四面體ABCD外接球的半徑R與內(nèi)切球的體積V內(nèi)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•大連二模）已知正四面體ABCD的所有棱長均為3
6
，頂點A、B、C在半球的底面內(nèi)，頂點D在半球面上，且D點在半球底面上的射影為半球的球心，則此半球的體積為
144π
144π
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正四面體ABCD的棱長為1，若以
AB
的方向為左視方向，則該正四面體的左視圖與俯視圖面積和的取值范圍為
 
．

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