Question

已知橢圓的左右兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，若，（其中O為坐標原點）．求橢圓C離心率e的最大值．

Answer 1

【答案】分析：由已知中橢圓的左右兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，，我們易得PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，進而由，我們可以得到離心率e平方的表達式，分析出其對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而得到橢圓C離心率e的最大值．
解答：解：由題意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，則有△F₁OH與△F₁PF₂相似，
所以，設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），
則有，解得，
所以．
根據(jù)橢圓的定義得：，
∴，
即，
所以，
∵在上是單調(diào)減函數(shù)，
∴當時，e²取最大值，
所以橢圓C離心率e的最大值是．
點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的離心率，其中由已知條件求出離心率e平方的表達式，并分析出其對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵．