Question

【題目】已知函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程，并證明對(duì)任意，切線經(jīng)過定點(diǎn)；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，是的兩個(gè)正的零點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】(1) 切線過定點(diǎn) (2)見解析

【解析】【試題分析】(I)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),代入求得斜率,利用點(diǎn)斜式寫出切線方程并化簡(jiǎn),由此求得直線過定點(diǎn).(II)當(dāng)時(shí),利用二分法可判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi), 有唯一零點(diǎn),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可證得.

【試題解析】

（Ⅰ）

，所求切線方程為

，即

切線方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，恒有，即切線過定點(diǎn)。

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

曲線在各定義域區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷的曲線。

時(shí)，，，

所以在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。

在區(qū)間內(nèi)，，，單調(diào)遞減。

，

若且，則，

所以在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)

由單調(diào)遞減知，在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)

因?yàn)?/span>，

所以，，

由單調(diào)遞減知，，即．