設(shè)b＞0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x2=8(y-b).如圖6所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1.

圖6

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設(shè)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,試探究在拋物線上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標(biāo)).

本題主要考查橢圓、拋物線的概念,橢圓、拋物線的方程等基礎(chǔ)知識,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與方法,以及運算求解能力.

解：(1)由x2=8(y-b)得y=+b.

當(dāng)y=b+2時,x=±4,

則G點的坐標(biāo)為(4,b+2).

于是拋物線x2=8(y-b)在點G的切線的l的斜率k==1,

切線l的方程為y=x+b-2.

由橢圓方程得F1點的坐標(biāo)為(b,0)，

又切線l經(jīng)過橢圓的右焦點F1

∴由0=b+b-2,解得b=1.

因此滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為+y2=1和x2=8(y-1).

(2)拋物線上存在點P，使得△ABP為直角三角形，這樣的點共有4個.

①分別過A，B作x軸的垂線，與拋物線分別交于兩點P1（-，）和P2（，），則△ABP1和△ABP2都是直角三角形.

②以原點為中心，|AB|=為半徑作圓周，由于圓周半徑大于橢圓的半短軸長1，且橢圓與拋物線僅交于一點，所以上述圓周必與拋物線相交于兩點P3和P4.

則△ABP3和△ABP4都是直角三角形.

因為P1A與圓相切于點A，而P3在圓周上，

所以P3與P1不重合，同理P4與P2不重合.

故P1、P2、P3和P4是兩兩互不相同的點.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1 ( a＞b＞0 )，它的一個頂點為M（0，1），離心率e=
6
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為
3
2
，求△AOB面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

簡化北京奧動會主體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內(nèi)層橢圓引切線AC．BD．設(shè)內(nèi)層橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），則外層橢圓方程可設(shè)
x2
(ma)2
+
y2
(mb)2
=1（a＞b＞o，m＞1）．若AC與BD的斜率之積為-
9
16
，則橢圓的離心率為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為4，設(shè)右焦點為F1，離心率為e．
（1）若e=
2
2
，求橢圓的方程；
（2）設(shè)A、B為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設(shè)直線AB的斜率為k，若k≥
3
，求e的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)b＞0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x2=8(y-b).如圖4所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1.

圖4

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設(shè)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,試探究在拋物線上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標(biāo)).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案