已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為4，設右焦點為F1，離心率為e．
（1）若e=
2
2
，求橢圓的方程；
（2）設A、B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF1的中點為M，BF1的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設直線AB的斜率為k，若k≥
3
，求e的取值范圍．
分析：（1）利用橢圓的焦距為4，e=
2
2
，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）①設出A的坐標，利用AF1的中點為M，BF1的中點為N，求出M、N的坐標，根據(jù)原點O在以線段MN為直徑的圓上，可得OM⊥ON，從而可得結(jié)論；
②直線方程與橢圓、圓聯(lián)立，表示出k，根據(jù)k≥
3
，即可求e的取值范圍．
解答：解：（1）由題意，
c=2
c
a
=
2
2
，∴c=2，a=2
2
，∴b=
a2-c2
=2
∴橢圓的方程為
x2
8
+
y2
4
=1；
（2）①證明：設A（x，y）則B（-x，-y）
因為橢圓的方程為
x2
8
+
y2
4
=1，所以右焦點F1（2，0），M（
x+2
2
，
y
2
），N（
-x+2
2
，-
y
2
），
∵原點O在線段MN為直徑的圓上，∴OM⊥ON，
∴
x+2
2
•
-x+2
2
-
y
2
•
y
2
=0，
∴x2+y2=4，∴點A在定圓上．
②解：由
y=kx
x2
a2
+
y2
b2
=1
x2+y2=4
，可得
x2
a2
+
(kx)2
b2
=1
x2+(kx)2=4
，∴
1
a2
+
k2
b2
=
1
4
(1+k2)
將e=
c
a
=
2
a
，b2=a2-c2=
4
e2
-4，代入上式可得k2=
e4-2e2+1
2e2-1

∵k≥
3
，∴k2=
e4-2e2+1
2e2-1
≥3
∴
e4-8e2+4
2e2-1
≥0
∵0＜e＜1
∴
2
2
＜e≤
3
-1．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關系的綜合運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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