Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )，它的一個頂點為M（0，1），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓交于A，B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）求橢圓的方程，它的一個頂點為M（0，1），離心率e=

6

3

．建立方程

b=1 e= c a = a2-b2 a = 6 3

求同a，b，即可得到橢圓的方程．
（2）由于已知坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，故求△AOB面積的最大值的問題轉化為求線段AB的最大值的問題，由弦長公式將其表示出來，再判斷最值即可得到線段AB的最大值．

解答：解：（1）設c=

a2-b2

，
依題意得

b=1 e= c a = a2-b2 a = 6 3

（2分）解得

a= 3 b=1

．（3分）∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．．（4分）
（2）①當AB⊥x軸時，|AB|=

3

．（5分）
②當AB與x軸不垂直時，
設直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，．．（6分）
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

（7分）
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]=

12(1+k2)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

(k≠0)≤3+

12

2×3+6

=4．
當且僅當9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

時等號成立，此時|AB|=2．（10分）
③當k=0時，|AB|=

3

（11分）
綜上所述：|AB|_max=2，
此時△AOB面積取最大值S=

1

2

|AB|max×

3

2

=

3

2

（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解答本題關鍵是對直線AB的位置關系進行討論，可能的最值來，本題由于要聯(lián)立方程求弦長，故運算量比較大，又都是符號運算，極易出錯，做題時要嚴謹認真．利用弦長公式求弦長，規(guī)律固定，因此此類題難度降低不少，因為有此固定規(guī)律，方法易找，只是運算量較大．