Question

（本小題滿分14分）已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的菱形, AC∩BD=O, AA1=2, BD⊥A1A, ∠BAD=∠A1AC=60°, 點M是棱AA1的中點.

（Ⅰ）求證：A1C∥平面BMD;

（Ⅱ）求證：A1O⊥平面ABCD;

（Ⅲ）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析； （Ⅱ）詳見解析； （Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）欲證線面平行，通常從線線平行入手，M是中點，加之是菱形，O也為AC中點，所以MO為的中位線，問題得于解決；（Ⅱ）根據(jù)已知邊角關(guān)系易證為直角三角形，即，又根據(jù)菱形性質(zhì)，給合已知，可得，即，所以自然可得；（Ⅲ）本題要解決三棱錐的體積，核心是解決高的問題，據(jù)題意，過M點作的平行線使交AC于N，則MN即為三棱錐的高，又M是的中點，所以，結(jié)合已知可得所求.

試題解析：（Ⅰ）如圖，聯(lián)結(jié)，則由是棱形知為中點，又是的中點，

為的中位線，故，

而，所以；

（Ⅱ）是菱形，其對角線互相垂直平分且平分對角，

又， ，

在中，（角所對直角邊等于斜邊的一半），則，

中，，,則

由余弦定理得

，故由勾股定理知，即，

又由

，，

由；

（Ⅲ）如圖，過點作交于，則為三棱錐的高且，

又，

.

考點：①線面平行的判定；②線面垂直的判定；③勾股定理和余弦定理；④等積法.