Question

【題目】已知橢圓：，過上一動點作軸，垂足為點．當點滿足時，點的軌跡恰是一個圓．

（1）求橢圓的離心率；

（2）若與曲線切于點的直線與橢圓交于，兩點，且當軸時，，求的最大面積．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：（1）先求點N的軌跡方程得到，再求橢圓的離心率.(2)先轉(zhuǎn)化為求|AB|的最大值，再求，再求|AB|的最大值和面積的最大值.

詳解：（1）設(shè)，，由軸知，

∵，∴

又∵點在橢圓上，∴，即，

又點的軌跡恰是一個圓，那么，

，

∵，∴．

（2）由（1）知橢圓：，圓：．

當軸時，切點為與軸的交點，即，

此時，，即，

故：，：．

設(shè)直線：（斜率顯然存在），，，

由直線與相切知，，即，

聯(lián)立直線與橢圓的方程

得，

其中，

有那么，

令（），則，

又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故，

∴，即的最大面積為．