Question

已知：等差數(shù)列{a_n}中，a₃=5，a₅=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=2^a_n，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，試求滿足S_n＞2015的最小正整數(shù)n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，通過a₃=5，a₅=9，求出d，得到通項公式．
（Ⅱ）求出bn=22n-1，說明數(shù)列{b_n}是首項b₁=2，公比q=4的等比數(shù)列，求出S_n，通過S_n＞2015，列出不等式，然后求出最小正整數(shù)n的值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因為a₃=5，a₅=9，
所以a₅-a₃=2d=9-5，d=2，
又由a₃=a₁+2d=5，得a₁=1．
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1． 
（Ⅱ）由bn=2an，得bn=22n-1，
因為

bn+1

bn

=

22n+1

22n-1

=4，所以數(shù)列{b_n}是首項b₁=2，公比q=4的等比數(shù)列．
故Sn=

2×(1-4n)

1-4

=

2

3

•(4n-1)．
由

2

3

•(4n-1)＞2015，可得4n＞

6047

2

=3023.5．
因為n∈N^*，4⁵=1024，4⁶=4096，
所以4⁵＜3023.5＜4⁶，即S₅＜2015＜S₆，
注意到Sn=

2

3

•(4n-1)是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以滿足S_n＞2015的最小正整數(shù)n的值為6．

點評：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想等．