Question

正四面體ABCD邊長為2，AO⊥平面BCD，垂足為O，設M為線段AO上一點，且∠BMC=90°，則二面角M-BC-O的余弦值為______．

Answer 1

延長BO，交CD于點N，可得BN⊥CD且N為CD中點．
設正四面體ABCD棱長為1，得等邊△ABC中，BN=

3

2

∵AO⊥平面BCD，
∴O為等邊△ABC的中心，得BO=

2

3

BN=

3

3

Rt△ABO中，AO=

6

3

設MO=x，則Rt△BOM中，BM=

1 3 +x2

∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=

2

2

BC
∴

1 3 +x2

=

2

2

∴MO=

6

6

延長DO，交BC于點E，則DE⊥BC且E為BC中點，連接ME，則∠MEO是二面角M-BC-O的平面角
∵MO=

6

6

，OE=

3

6

∴ME=

( 6 6 )2+( 3 6 )2

=

1

2

∴cos∠MEO=

OE

ME

=

3

3

故答案為

3

3

．