Question

函數(shù)f(x)=

1

x

-log2(

1+x

1-x

)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

2個(gè)

．

Answer 1

分析：先求函數(shù)的定義域，再判函數(shù)的奇偶性，再證函數(shù)的單調(diào)性，最后用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．

解答：解：要使函數(shù)有意義，只需

1+x

1-x

＞0且x≠0，解得：{x|-1＜x＜0或0＜x＜1}，
所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，而f(-x)=-【

1

x

-log2(

1+x

1-x

)】，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)；
因?yàn)?span id="3q989cr" class="MathJye">f′(x)=[

1

x

-log2(

1+x

1-x

)]′=-

1

x2

-

1

1+x 1-x ln2

(

1+x

1-x

)′=-

1

x2

-

1

1+x 1-x ln2

2

(1-x)2

=-[

1

x2

+

2

(1-x)2ln2

]
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（-1，0）上為減函數(shù)，
因?yàn)?span id="xnkvqod" class="MathJye">f(

1

2

)=2- log23  ＞0，f(

2

3

)=

3

2

- log25  ＜0；
由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理知：函數(shù)f（x）在(

1

2

，

2

3

)有零點(diǎn)，又因?yàn)閒（x）在（0，1）上為減函數(shù)，所以f（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（x）在（-1，0）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)f(x)=

1

x

-log2(

1+x

1-x

)有兩個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：2

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，用到了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．
本題的關(guān)鍵：①函數(shù)是奇函數(shù)，對稱區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)一樣；②單調(diào)函數(shù)若在區(qū)間上有零點(diǎn)則僅有一個(gè)．