Question

（1）證明函數f(x)=

1

x

的奇偶性．
（2）用單調性的定義證明函數f(x)=

1

x

在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域，再利用奇函數的定義，即可證得函數為奇函數；
（2）按照取值、作差、變形定號，下結論的步驟進行證明，作差后要因式分解．

解答：解：（1）f(x)=

1

x

的定義域為{x|x≠0}，

∵f(-x)=- 1 x =-f(x) ∴f(x)是奇函數

（2）設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
由x₁，x₂∈（0，+∞），得x₁x₂＞0，
又由x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=

1

x

在（0，+∞）上是減函數．

點評：本題考查函數的性質，考查學生的計算能力，證明函數的單調性按照取值、作差、變形定號，下結論的步驟進行．