已知矩陣A=
12
-14
，向量
a
=
7
4
．
（1）求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
（2）求A5
α
的值．
分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式f(λ)=
.
λ-1-2
1λ-4
.
，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）利用特征向量的性質(zhì)計(jì)算，先利用特征向量表示向量
α
，后將求A5
α
的值的問題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計(jì)算問題．
解答：解：（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)=
.
λ-1-2
1λ-4
.
=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
當(dāng)λ1=2時(shí)，得
α1
=
2
1
，當(dāng)λ2=3時(shí)，得
α2
=
1
1
．（7分）
（2）由
α
=m
α1
+n
α2
得
2m+n=7
m+n=4
，得m=3，n=1．
∴A5
α
=A5(3
α1
+
α2
)=3(A5
α1
)+A5
α2
=3(
λ
5
1
α1
)+
λ
5
2
α2
=3×25
2
1
+35
1
1
=
435
339
．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特征值與特征向量的計(jì)算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于向量中的基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知矩陣A=
12
-14
．（1）求A特征值λ1，λ2及對(duì)應(yīng)的特征向量
α1
，
α2
．（2）求A5
3
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E．
求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

（1）求A的逆矩陣A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）（選修4-2 矩陣與變換）已知矩陣A=
12
-14
，向量
α
=
7
4
．
①求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
②求A5
α
的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程求極坐標(biāo)系中，圓ρ=2上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距離的最小值．
（3）選修4-5；不等式選講知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x，y，z的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）已知矩陣A=
12
-14
，求A的特征值λ1、λ2及對(duì)應(yīng)的特征向量α1、α2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-2；矩陣與變換
已知矩陣A=
.
12
-14
.
，向量a=
.
4 
7 
.

（I）求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量a1、a2；
（Ⅱ）求A5α的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案