Question

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E．
求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=

1 2 -1 4

（1）求A的逆矩陣A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：A．要證AD 的延長(zhǎng)線平分∠CDE，即證∠EDF=∠CDF，根據(jù)A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
B．（1）根據(jù)所給的矩陣求這個(gè)矩陣的逆矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出結(jié)果．
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
C．曲線C為：x²+y²-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，由此能求出直線被曲線C載得的線段長(zhǎng)度．
D．對(duì)左邊變形

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）+

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）+

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）后兩項(xiàng)應(yīng)用基本不等式，得到三個(gè)不等式后相加即得．

解答：解：A：設(shè)F為AD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，
∵A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，∴∠ABC=∠CDF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
∵對(duì)頂角∠EDF=∠ADB，∴∠EDF=∠CDF，
故AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE．
B：解：（1）ad-bc=4+2=6，
A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

，
∴A-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

．
（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
當(dāng)λ₁=2時(shí)，得

a1

=

2 1

，當(dāng)λ₂=3時(shí)，得

a2

=

1 1

．
所以矩陣A屬于特征值2的一個(gè)特征向量為

2 1

，
矩陣M屬于特征值3的一個(gè)特征向量為

1 1

．
C：曲線C為：x²+y²-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，
直線l為：

3

x-y+1=0，圓心到直線的距離為：d=

|-2+1|

2

=

1

2

直線被曲線C載得的線段長(zhǎng)度為：2

4- 1 4

=

17

．
D：證明：∵a、b、c均為實(shí)數(shù)，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，
當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

．
三個(gè)不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：A考查直線與圓的位置關(guān)系，B考查逆矩陣的求法和矩陣的特征值和特征向量的求法，C考查極坐標(biāo)標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用，D考查不等式的證明．都是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．