Question

已知F₁、F₂分別為橢圓C：：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)．若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN．求證：k_pM、k_pN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點(diǎn)M（m，n）是橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任一點(diǎn)，則

m2

a2

+

n2

b2

=1，設(shè)P（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，推導(dǎo)出k_PM•k_PN=

y2-n2

x2-m2

=-

b2

a2

．由此證明k_PM•k_PN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)M（m，n）是橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1①上的任一點(diǎn)，
N（-m，-n）是M關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)，則

m2

a2

+

n2

b2

=1②
又設(shè)P（x，y）是橢圓上任一點(diǎn)，且k_PM•k_PN存在．
則k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

，
∴k_PM•k_PN=

y-n

x-m

•

y+n

x+m

=

y2-n2

x2-m2

．
①-②得

x2-m2

a2

+

y2-n2

b2

=0，
∴

y2-n2

x2-m2

=-

b2

a2

，
∴k_PM•k_PN=-

b2

a2

．
∴k_PM•k_PN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到橢圓、直線方程、斜率等知識(shí)點(diǎn)，是中檔題．