Question

已知曲線y=x²在點（n，n²）處的切線方程為

x

an

-

y

bn

=1，其中n∈N^*
（1）求a_n，b_n關(guān)于n的表達式；
（2）設(shè)C_n=

1

an+bn

，求證：c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

；
（3）設(shè)d_n=

4an

λ•4an+1-λ

，其中0＜λ＜1，求證：d₁+d₂+…+d_n＞

nλ+λ-1

λ2

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由導數(shù)的幾何意義求出曲線y=x²在點（n，n²）處的切線方程，由此能求出a_n，b_n關(guān)于n的表達式．
（2）n=1時，C₁=

2

3

＜

4

3

，成立．當n≥2時，c_n=

4

2n(2n+1)

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項求和法能證明c₁+c₂+…+c_n＜

4

3

．
（3）由題意推導出dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

＞

λ-1

λ2

•

1

2n

，由此能證明d₁+d₂+…+d_n＞

n

λ

+

λ-1

λ2

=

nλ+λ-1

λ2

．

解答： 解：（1）∵y=x²，∴y′=2x，
∴曲線y=x²在點（n，n²）處的切線方程為：
y-n²=2n（x-n），整理，得

x

n 2

-

y

n2

=1，
∵曲線y=x²在點（n，n²）處的切線方程為

x

an

-

y

bn

=1，
∴an=

n

2

，bn=n2．
（2）∵an=

n

2

，bn=n2，C_n=

1

an+bn

，
∴n=1時，C₁=

1

1 2 +1

=

2

3

＜

4

3

，成立．
當n≥2時，
C_n=

1

an+bn

=

1

n 2 +n2

=

4

2n(2n+1)

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴c₁+c₂+…+c_n
＜c₁+2（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

2

3

+2（

1

3

-

1

2n+1

）＜

4

3

．
（3）∵an=

n

2

，
∴d_n=

4an

λ•4an+1-λ

=

2n

λ•2n+1-λ

，
dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

，
∵0＜λ＜1，∴

λ-1

λ

＜0，λ•2ⁿ+1-λ＞λ•2ⁿ＞0，
∴

1

λ•2n+1-λ

＜

1

λ•2n

∴dn-

1

λ

=

λ-1

λ(λ•2n+1-λ)

＞

λ-1

λ

•

1

λ•2n

=

λ-1

λ2

•

1

2n

，
（d1-

1

λ

）+（d2-

1

λ

）+…+（dn-

1

λ

）＞

λ-1

λ2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)．
∵

λ-1

λ2

＜0，

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
∴

λ-1

λ2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)＞

λ-1

λ2

，
∴（d1-

1

λ

）+（d2-

1

λ

）+…+（dn-

1

λ

）＞

λ-1

λ2

，
∴d₁+d₂+…+d_n＞

n

λ

+

λ-1

λ2

=

nλ+λ-1

λ2

．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查不等式成立的證明，綜合性強，難度大，解題時要注意導數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，注意放縮法和裂項求和法的合理運用．