Question

設(shè)a是實(shí)數(shù)，定義在R上的函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（2）證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，f（x）是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象必過原點(diǎn)，即f（0）=0，可求出a的值；
（2）設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差變形整理，再討論得f（x₁）＜f（x₂），由此即可得到f（x）=a-

2

2x+1

在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)．

解答： 解：（1）∵定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象必過原點(diǎn)，
∴f（0）=a-1=0，
解得：a=1，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

2x-1

2x+1

為奇函數(shù)；
證明：（2）設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，可得2x1-2x2＜0，
又∵2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
由此可得，對(duì)于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題通過證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)，考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．