Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a1+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

=2n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

an

(an-1)(an+1-1)

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系可得a_n；
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a1+

a2

2

+

a3

22

+…+

an

2n-1

=2n，n∈N^*，①
∴當n=1時，a₁=2．
當n≥2時，a1+

a2

2

+

a3

22

+…+

an-1

2n-2

=2(n-1)，②
①-②得，

an

2n-1

=2．
∴an=2n．
a₁=2，適合上式，
∴an=2n（n∈N^*）．
（2）由（1）得an=2n．
∴bn=

an

(an-1)(an+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

7

-

1

15

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

．

點評：本題考查了數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系、“裂項求和”，屬于中檔題．