Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M∈AB₁，N∈BC₁，且AM=BN≠

2

，有以下四個(gè)結(jié)論：
①AA₁⊥MN，②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN與A₁C₁是異面直線．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

 （注：把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,平面與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：過(guò)M作MO∥AB，交BB₁于O，連接ON，利用線段等比例定理證明ON∥B₁C₁，根據(jù)線面垂直的判定定理證明BB₁⊥平面OMN，又MN?平面OMN，可得AA₁⊥MN，從而判斷①正確；
利用面面平行的判定定理可證平面A₁B₁C₁D₁∥平面OMN，從而得MN∥平面A₁B₁C₁D₁，從而判斷③正確；
根據(jù)M、N分別是AB₁，BC₁的中點(diǎn)時(shí)，可證MN∥A₁C₁，當(dāng)M不是AB₁的中點(diǎn)時(shí)，MN與A₁C₁異面，從而判斷②④錯(cuò)誤．

解答： 解：過(guò)M作MO∥AB，交BB₁于O，連接ON，
∵AM=BN
∴

AM

MB1

=

BO

OB1

=

BN

NC1

，∴ON∥B₁C₁，
∴BB₁⊥OM，BB₁⊥ON，OM∩ON=O，
∴BB₁⊥平面OMN，MN?平面OMN，
∴BB₁⊥MN，AA₁∥BB₁，∴AA₁⊥MN，∴①正確；
當(dāng)M、N分別是AB₁，BC₁的中點(diǎn)時(shí)，取A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接ME、NF，
∵M(jìn)E∥AA₁，NF∥AA₁，且ME=NF=

1

2

AA₁，
∴四邊形MNEF為平行四邊形，∴MN∥EF，
又EF∥A₁C₁，∴MN∥A₁C₁，
當(dāng)M不是AB₁的中點(diǎn)時(shí)，MN與A₁C₁異面，∴②④錯(cuò)誤；
OM∥平面A₁B₁C₁D₁；ON∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴平面A₁B₁C₁D₁∥平面OMN，MN?平面OMN，
∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁；∴③正確．
故答案是①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定及面面平行的性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力，熟練掌握線面平行，垂直的判定定理及面面平行的性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．