Question

【題目】設函數(shù).

（1）若方程在上有根，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設，若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得函數(shù)h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零點，

h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，由此求得a的范圍；

（2）對任意的，都有，即，分別求兩邊函數(shù)的最值即可.

（1）∵方程f（x）＝3x在上有根，

∴函數(shù)h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零點．

由于在上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是減函數(shù)，

故有h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，

求得a＜1．

（2）對任意的，都有，

即

，

時，的最小值為，

時，的最小值為

故在上的最小值為

（x）＝cos2x+2asinx＝﹣sin2x+2asinx+1

令t＝sinx，因為，所以﹣1≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1，其對稱軸為t＝a，

故a≤﹣1時，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是減函數(shù)，最大值為﹣4a，

此時﹣4a＜1，a＞，無解；

當﹣1＜a＜1時，當t＝a時y有最大值a2 +1，

此時a2 +1＜1，即，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1

當a≥1時，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是增函數(shù)，最大值為0

此時0＜1，顯然恒成立，

綜上：a的范圍