如圖，在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求這個(gè)球的表面積．

 

 

3πa2

【解析】如題圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d，在三棱錐PABC中，

∵PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a，∴AB＝AC＝BC＝a，

且點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心O′，由正弦定理，得＝2r，∴r＝a.

又根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′三點(diǎn)共線，球的半徑R＝.又PO′＝＝＝a，

∴OO′＝R－a＝d＝，∴＝R2－，解得R＝a.

∴S球＝4πR2＝3πa2.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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直線2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有______個(gè)．

 

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如圖所示，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB.

(1)求PA的長(zhǎng)；

(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

 

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一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是π，那么這個(gè)三棱柱的體積是________．

 

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如圖，底面邊長(zhǎng)為a，高為h的正三棱柱ABC-A1B1C1，其中D是AB的中點(diǎn)，E是BC的三等分點(diǎn)．求幾何體BDEA1B1C1的體積．

 

 

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若等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是__________.

 

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如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)．如圖②，將△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，連結(jié)BC、BD，F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)．求證：

圖①圖②

(1)AE⊥BD；

(2)平面PEF⊥平面AECD.

 

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如圖PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的是________．(填序號(hào))

 

 

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給出下列四個(gè)命題：

①沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行；

②互相垂直的兩條直線是相交直線；

③既不平行也不相交的直線是異面直線；

④不同在任一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．

其中正確命題是________．(填序號(hào))

 

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