Question

已知復(fù)數(shù)z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|z₁-z₂|=1．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用復(fù)數(shù)的減法運算先計算出z₁-z₂，在利用向量的模的計算方法計算|z₁-z₂|，再讓其等于1，就可得到cos（α-β）的值．
（2）根據(jù)角α，β的范圍以及cos（α-β）和sinβ的值，求出sin（α-β）和cosβ的值，把α用α-β+β表示，所以sinα=sin[（α-β）+β]，把其中角α-β看做一個角，用兩角和的正弦公式展開，把前面求出的三角函數(shù)值代入即可求出sinα．
解答：解：（1）∵復(fù)數(shù)z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|
∴z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），
又∵|z₁-z₂|=1，
∴，
化簡得=1
2-2cos（α-β）=1
∴．
（2）∵，所以0＜α-β＜π，
由（1）得，∴sin（α-β）=
又∵sinβ=-，，
∴
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
==
點評：本題主要考查復(fù)數(shù)的減法運算和復(fù)數(shù)的模的求法，以及應(yīng)用三角公式進行化簡求值計算，注意其中角的整體代換．