Question

【題目】已知橢圓E： + =1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；
（Ⅱ）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）方法一、t=4時，橢圓E的方程為 + =1，A（﹣2，0），

直線AM的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

解得x=﹣2或x=﹣ ，則|AM|= |2﹣ |= ，

由AN⊥AM，可得|AN|= = ，

由|AM|=|AN|，k＞0，可得 = ，

整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0無實根，可得k=1，

即有△AMN的面積為 |AM|2= （ ）2= ；

方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N關于x軸對稱，

由MA⊥NA．可得直線AM的斜率為1，直線AM的方程為y=x+2，

代入橢圓方程 + =1，可得7x2+16x+4=0，

解得x=﹣2或﹣ ，M（﹣ ， ），N（﹣ ，﹣ ），

則△AMN的面積為 × ×（﹣ +2）= ；

（Ⅱ）直線AM的方程為y=k（x+ ），代入橢圓方程，

可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2﹣3t=0，

解得x=﹣ 或x=﹣ ，

即有|AM|= | ﹣ |= ，

|AN|═ = ，

由2|AM|=|AN|，可得2 = ，

整理得t= ，

由橢圓的焦點在x軸上，則t＞3，即有 ＞3，即有 ＜0，

可得 ＜k＜2，即k的取值范圍是（ ，2）

【解析】（Ⅰ）方法一、求出t=4時，橢圓方程和頂點A，設出直線AM的方程，代入橢圓方程，求交點M，運用弦長公式求得|AM|，由垂直的條件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，運用三角形的面積公式可得△AMN的面積；方法二、運用橢圓的對稱性，可得直線AM的斜率為1，求得AM的方程代入橢圓方程，解方程可得M，N的坐標，運用三角形的面積公式計算即可得到；（Ⅱ）直線AM的方程為y=k（x+ ），代入橢圓方程，求得交點M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由橢圓的性質可得t＞3，解不等式即可得到所求范圍．