Question

【題目】某校舉行高二理科學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理競賽，并從中抽取72名學(xué)生進行成績分析，所得學(xué)生的及格情況統(tǒng)計如表：

	物理及格	物理不及格	合計
數(shù)學(xué)及格	28	8	36
數(shù)學(xué)不及格	16	20	36
合計	44	28	72

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否是99%的把握認為“數(shù)學(xué)及格與物理及格有關(guān)”；
（2）若以抽取樣本的頻率為概率，現(xiàn)在該校高二理科學(xué)生中，從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生中隨機抽取3人，記X為這3人中物理不及格的人數(shù)，從數(shù)學(xué)不及格學(xué)生中隨機抽取2人，記Y為這2人中物理不及格的人數(shù)，記ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望． 附：x2= ．

P（X2≥k）	0.150	0.100	0.050	0.010
k	2.072	2.706	3.841	6.635

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，得：

= ≈12.587，

∵12.587＞6.635，

∴有99%的把握認為“數(shù)學(xué)及格與物理及格有關(guān)”

（2）解：從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生任抽取一人，抽到物理不及格的學(xué)生的頻率為 = ，

從數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生任取一人，抽到物理不及格的學(xué)生的頻率為 = ，

X可能的取值為0，1，2，3，Y可能的取值為0，1，2，

ξ的可能取值為0，1，2，3，

P（ξ=0）=P（X=0）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=2）

= + + = ，

P（ξ=1）=P（X=0）P（Y=1）+P（X=1）P（Y=0）+P（X=1）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=1）+P（X=3）P（Y=2）= + + +

+ = ，

P（ξ=2）=P（X=0）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=0）+P（X=3）P（Y=1）

= + + = ，

P（ξ=3）=P（X=3）P（Y=0）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ= +3× =

【解析】（1）根據(jù)題意，求出X2= ≈12.587＞6.635，從而有99%的把握認為“數(shù)學(xué)及格與物理及格有關(guān)”．（2）從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生任抽取一人，抽到物理不及格的學(xué)生的頻率為 = ，從數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生任取一人，抽到物理不及格的學(xué)生的頻率為 = ，X可能的取值為0，1，2，3，Y可能的取值為0，1，2，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考點精析】利用離散型隨機變量及其分布列對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．