Question

【題目】某學校決定在主干道旁邊挖一個半橢圓形狀的小湖，如圖所示，AB=4，O為AB的中點，橢圓的焦點P在對稱軸OD上，M、N在橢圓上，MN平行AB交OD與G，且G在P的右側，△MNP為燈光區(qū)，用于美化環(huán)境.

(1)若學校的另一條道路EF滿足OE=3，tan∠OEF=2，為確保道路安全，要求橢圓上任意一點到道路EF的距離都不小于，求半橢圓形的小湖的最大面積：(橢圓()的面積為)

(2)若橢圓的離心率為，要求燈光區(qū)的周長不小于，求PG的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由的長求得的值.首先求出直線所在的直線方程，設出與此直線平行，且與半橢圓相切的直線方程，利用兩平行線間的距離求得相切直線的方程，代入橢圓方程利用判別式等于零求得的值.（2）根據(jù)橢圓的離心率和的值，利用求得的值，即求得橢圓方程，求得焦點的坐標.設出點的坐標，代入橢圓方程，由此寫出周長的表達式，列不等式，解不等式可求得點橫坐標的取值范圍，減去后得到的取值范圍.

（1）因為，所以直線的斜率為，

所以所在的直線方程為。

因為橢圓上任意一點到道路的距離都小于，

所以橢圓最大面積時與一條平行于且距離為的直線相切，

設直線，

由兩條直線之間的距離為，所以，

解得或（舍棄）

設橢圓方程為，

由于得到

因為直線與橢圓相切，所以，解得，

所以橢圓方程為，

所以橢圓分面積為。

（2）設橢圓方程為，

因為橢圓的離心率為，所以，所以。

所以橢圓方程為

設，則燈光區(qū)的周長

由題意，

所以，所以

∴ ，

所以，即，

又因為在的右側，所以，所以

所以的取值范圍是。