Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，點為的中點.

（1）證明：平面；

（2）若直線與底面所成的角為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取PA中點Q，連結(jié)QD，QE，推導出四邊形CDQE是平行四邊形，CE∥QD，由此能證明CE∥平面PAD．
（2）連結(jié)BD，取BD中點O，連結(jié)EO，CO，推導出∠ECO是直線CE與底面ABCD所成的角，∠ECO=45°，由VP-ABCD=S底面ABCDPD，能求出四棱錐P-ABCD的體積．

（1）取中點，連接，，

則，且，

所以，且，

即四邊形為平行四邊形，，

又因為平面，平面，（兩條件各1分）

所以平面.

（2）連接，取中點，連接，，

則，且，

因為平面，所以平面，

則為在平面上的射影，

即為直線與底面所成的角，，

在等腰直角三角形中，，則，

則在中，，，

，

所以，

所以，

所以四棱錐的體積為.