Question

某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到下列關(guān)于產(chǎn)品重量的樣本頻數(shù)分布表：

甲流水線 產(chǎn)品重量（單位：克）	頻數(shù)
（490,495]	2
（495,500]	12
（500,505]	18
（505,510]	6
(510,515]	2
乙流水線 產(chǎn)品重量（單位：克）	頻數(shù)
（490,495]	6
（495,500]	8
（500,505]	14
（505,510]	8
（510,515]	4

已知產(chǎn)品的重量合格標(biāo)準(zhǔn)為：重量值（單位：克）落在內(nèi)的產(chǎn)品為合格品；否則為不合格品．

（Ⅰ) 從甲流水線樣本的合格品中任意取2件，求重量值落在的產(chǎn)品件數(shù)的分布列；

（Ⅱ）從乙流水線中任取2件產(chǎn)品，試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，求其中合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）從甲、乙流水線中各取2件產(chǎn)品，用表示“甲流水線合格品數(shù)與乙流水線合格品數(shù)的差的絕對(duì)值”，并用表示事件“關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解”． 試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，求事件的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）頻數(shù)分布表知，甲樣本中合格品數(shù)為，其中重量值落在的產(chǎn)品為件．  

∴的可能取值為，                                   

且．                           

；，．

	0	1	2

∴的分布列為:

                                                                   

（Ⅱ）由頻數(shù)分布表知，乙樣本中合格品數(shù)為件，

∴若從乙樣本中任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率．        

根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)從乙流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率．                                                         

∵從乙流水線上所取的2件產(chǎn)品互不影響，該問題可看成2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，

∴合格品的件數(shù)．            

∴，即合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．          

（Ⅲ）由方程沒有實(shí)數(shù)解，得，

解得，．                              

記“從甲流水線中任取件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為，“從乙流水線中任取件產(chǎn)品，其中合格品的件數(shù)”為，則 ．

∵與都有三種可能的取值，

∴事件（即）包含四種情況：或或或． 

由（Ⅱ）知，從乙流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率．

仿（Ⅱ）的做法，可知從甲流水線上任取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率．

∵從同一條流水線上所取的2件產(chǎn)品互不影響，不同流水線上的取法之間也互不影響，

 

所以事件的概率．