Question

已知拋物線Γ：x²=2my（m＞0）和直線l：y=kx-m沒有公共點（其中k，m為常數(shù)），動點P是直線l上的任意一點，過P點引拋物線Γ的兩條切線，切點分別為M，N，且直線MN恒過點Q（k，1）．
（1）求拋物線Γ的方程；
（2）已知O為坐標(biāo)原點，連接PQ交拋物線Γ于A，B兩點，且A點在線段PQ之間，求

PA

•

QB

+

PB

•

QA

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：壓軸題,轉(zhuǎn)化思想

分析：對第（1）問，先求二次函數(shù)y=

x2

2m

的導(dǎo)數(shù)，由點斜式得切線PM，PN的方程，由此得直線MN的方程，根據(jù)點P在l上及MN恒過點Q分別得方程，通過消參，最后可得m的值；
對第（2）問，可將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段的長度，再轉(zhuǎn)化為長度之比，從而利用相似三角形的相似比，以達(dá)到化簡的目的．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由x²=2my，得y=

x2

2m

，則y′=

x

m

，
又

x 2 1

m

=2y1，

x 2 2

m

=2y2，
則切線PM的方程為y=

x1

m

x-y1，切線PN的方程為y=

x2

m

x-y2．
由于PM，PN經(jīng)過點P，有

y0= x1 m x0-y1 y0= x2 m x0-y2

，
顯然，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的坐標(biāo)滿足方程y0=

x

m

x0-y，
根據(jù)兩點確定一條直線，可知直線MN的方程就是y0=

x

m

x0-y，
∵M(jìn)N恒過點（k，1），∴y0=

k

m

x0-1，
又點P在直線l上，有y₀=kx₀-1，聯(lián)立上式消去kx₀，得（y₀+1）（m-1）=0，
由y₀的任意性知，m=1，
∴拋物線Γ的方程為x²=2y．
（Ⅱ）由于P，A，B，Q四點共線，且A點在線段PQ之間，
可得

PA

•

QB

+

PB

•

QA

=|

PA

|•|

QB

|-|

PB

|•|

QA

|=|

PA

||

PB

|(

| QB |

| PB |

-

| QA |

| PA |

)，
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊所成比例相等，
有

| QB |

| PB |

=

x4-k

x4-x0

，

| QA |

| PA |

=

k-x3

x3-x0

，
∴|

PA

||

PB

|(

| QB |

| PB |

-

| QA |

| PA |

)=|

PA

||

PB

|（

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

）．
由P（x₀，y₀），Q（k，1），知直線PQ：y-1=

y0-1

x0-k

(x-k)，
與拋物線方程x²=2y聯(lián)立可得

1

2

x2-

y0-1

x0-k

x+

y0k-x0

x0-k

=0，
由韋達(dá)定理得x3+x4=

2(y0-1)

x0-k

，…①
x3x4=

2y0k-2x0

x0-k

，…②
∴

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

=-

(k-x4)(x3-x0)-(x3-k)(x4-x0)

(x4-x0)(x3-x0)

=-

(x3+x4)(k+x0)-2x3x4-2kx0

(x4-x0)(x3-x0)

，…③
將①、②式代入③式中得

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

=-

2(y0-1) x0-k •(k+x0)-2• 2y0k-2x0 x0-k -2kx0

(x4-x0)(x3-x0)

=-

2x0y0-2k+2x0-2y0k-2k x 2 0 +2k2x0

(x0-k)(x4-x0)(x3-x0)

．
 將y₀=kx₀-1代入上式，得

x4-k

x4-x0

-

k-x3

x3-x0

=-

2x0(kx0-1)-2k+2x0-2k(kx0-1)-2k x 2 0 +2k2x0

(x0-k)(x4-x0)(x3-x0)

=0，
即

PA

•

QB

+

PB

•

QA

的值為0．

點評：1．本題難度較大，涉及的參數(shù)較多，如何消參成了解決本題的主要任務(wù)，常用方法是代入法．
2．求

PA

•

QB

+

PB

•

QA

時，若根據(jù)向量向量積的坐標(biāo)進(jìn)行運算，則計算量太大，很難算出結(jié)果，本題先將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為長度，再將長度轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的計算，計算量明顯減少．
3．本題涉及直線與圓錐曲線相交的問題，聯(lián)立直線與曲線的方程，消去y，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理消元，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想．