Question

已知f（x）=x-

1

2

t2+t+

3

2

為偶函數(shù)（t∈Z），且滿足f（2）＜f（3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=log_a[af（x）-x]（a＞0，且 a≠1﹚在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，即可求出t的值，從而求f（x）的解析式；
（2）利于換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x-

1

2

t2+t+

3

2

為偶函數(shù)（t∈Z），且滿足f（2）＜f（3）．
∴f（x）=x-

1

2

t2+t+

3

2

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
即-

1

2

t²+t+

3

2

＞0，即t²-2t-3＜0，解得-1＜t＜3，
∵t∈Z，∴t=0，1，2，
若t=0，則f（x）=x

3

2

為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．
若t=1，則f（x）=x²為偶函數(shù)，滿足條件．
若t=2，則f（x）=x

3

2

為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．
故f（x）=x²．
（2）g（x）=log_a[af（x）-x]=log_a（ax²-x），
設(shè)t=ax²-x，則y=log_at，
若g（x）=log_a[af（x）-x]（a＞0，且 a≠1﹚在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則t=ax²-x和y=log_at的單調(diào)性相反，
若a＞1，則t=ax²-x在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則對(duì)稱軸x=-

-1

2a

=

1

2a

≥4，即a≤

1

8

，此時(shí)不滿足條件．
若0＜a＜1，則t=ax²-x在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則對(duì)稱軸x=

1

2a

≤2，且當(dāng)x=2時(shí)，t=4a-2＞0，
解得

0＜a＜1 a≥ 1 4 a＞ 1 2

，即

1

2

＜a＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，利于換元法是解決本題的關(guān)鍵．