Question

如圖：港口A北偏東30°方向的C處有一觀測(cè)站，港口正東方向的B處有一輪船，測(cè)得BC為31n mile，該輪船從B處沿正西方向航行20n mile后到D處，測(cè)得CD為21n mile．
（1）求cos∠BDC和sin∠ACD．
（2）問此時(shí)輪船離港口A還有多遠(yuǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）在△BDC中，先由余弦定理，可求cos∠CDB，從而求出sin∠ACD；
（2）在△ACD中，由正弦定理知，

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，可求AD．

解答： 解：（1）由條件知∠A=60°，在△BCD中，由余弦定理，得：
cos∠BDC=

CD2+BD2-BC2

2CD•BD

=-

1

7

…（2分）
所以sin∠BDC=

4 3

7

．…（3分）sin∠ACD=sin(∠BDC-

π

3

)=sin∠BDCcos

π

3

-cos∠BDCsin

π

3

=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．…（6分）
（2）在△ACD中，由正弦定理得：

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，所以AD=

CD•sin∠ACD

sinA

=15n mile．
答：此時(shí)輪船離港口還有15 n mile．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內(nèi)角和定理在實(shí)際中的應(yīng)用，解決實(shí)際的問題的關(guān)鍵是要把題目中所提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)圖形中的長度（角度），然后根據(jù)相應(yīng)的公式來解決問題．