Question

設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x-1|+|x-2|≥m恒成立．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，解關(guān)于x的不等式|x+1|-2x≤

m

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用絕對(duì)值的意義可得|x-1|+|x-2|取得最小值為1，再根據(jù)不等式|x-1|+|x-2|≥m恒成立，可得m的范圍．
（2）由（1）可得m=1，不等式等價(jià)于|x+1|≤

1

3

+2x，故有

1 3 +2x≥0 - 1 3 -2x≤x+1≤ 1 3 +2x

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
可得當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，|x-1|+|x-2|取得最小值為1；
可得：|x-1|+|x-2|≥1恒成立，故有m≤1．
（2）由（1）可得m的最大值為1，不等式即|x+1|-2x≤

1

3

，等價(jià)于|x+1|≤

1

3

+2x，
∴

1 3 +2x≥0 - 1 3 -2x≤x+1≤ 1 3 +2x

，即

2x≥- 1 3 3x≥- 4 3 ，且2x-x≥ 2 3

，即

x≥- 1 6 x≥- 4 9 ，且x≥ 2 3

．
解得：x≥

2

3

，即不等式的解集為{x|x≥

2

3

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，對(duì)于有絕對(duì)值的不等式，可以借助兩個(gè)工具，一是把他轉(zhuǎn)化成x軸上點(diǎn)的距離；二是運(yùn)用絕對(duì)值的等式運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．