Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右頂點為A（2，0），點P（2e，

1

2

）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足

OC

=λ

BA

，且

OC

•

OB

=0，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=2，

4e2

a2

+

1 4

b2

=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y=kx，直線AB方程為y=k（x-2），分別代入橢圓方程x²+4y²=4，由

OC

•

OB

=0，求出k=

2

2

，再由

OC

=λ

BA

，能求出實數(shù)λ的值．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的右頂點為A（2，0），∴a=2，
∵點P（2e，

1

2

）在橢圓上，
∴

4e2

a2

+

1 4

b2

=1，
∵a²=4，e2=

c2

4

，a²=b²+c²，
∴b²=1，c²=3，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y=kx，
代入橢圓方程

x2

4

+y2=1，即x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²=4，∴xc=

2

1+4k2

，
∴C（

2

1+4k2

，

2k

1+4k2

），
又直線AB方程為y=k（x-2），代入橢圓方程x²+4y²=4，
得（1+4k²）x²-16k²x+16k²-4=0，
∵x_A=2，∴x_B=

2(4k2-1)

1+4k2

，
∵

OC

•

OB

=0，
∴

2(4k2-1)

1+4k2

•

2

1+4k2

+

-4k

1+4k2

•

2k

1+4k2

=0，
∴k2=

1

2

，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=

2

2

，
∵

OC

=（

2

1+4k2

，

2k

1+4k2

），

BA

=（2-

2(4k2-1)

1+4k2

，0-

-4k

1+4k2

）=（

4

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
由

OC

=λ

BA

，得λ=

k2+ 1 4

，
∴k=

2

2

，∴λ=

3

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的值的求法，解題時要認真審題，仔細運算，注意推理論證能力的培養(yǎng)．