Question

已知函數(shù)f（x）=2+sin2x+cos2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把f（x）的后兩項化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)取得最大值時角度的值列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到f（x）取得最大值時x范圍，并求出此時的最大值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，列出（1）得到f（x）的解析式中正弦函數(shù)的角度的不等式，化簡后即可求出x的范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)，（4分）
∴當2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)時，f（x）取得最大值2+

2

．
因此，f（x）取得最大值的自變量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；（8分）
（2）f(x)=2+

2

sin(2x+

π

4

)，
由題意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即kπ-

3

8

π≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)．
因此，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．　…（12分）

點評：此題考查了三角函數(shù)的最值，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性．利用三角函數(shù)的恒等變換把f（x）化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．