Question

14．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$，若f（x）=2，求2^x的值．

Answer 1

分析 根據(jù)條件討論x的范圍，結(jié)合指數(shù)方程和一元二次方程，解方程即可．

解答 解：∵f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$，
∴若f（x）=2得2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$=2，
若x=0，則方程等價為1-1=2，則方程不成立，故x≠0，
若x＞0，則方程等價為2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$=2，
即（2^x）²-2•2^x-1=0，
則2^x=$\frac{2+\sqrt{4+4}}{2}$=$\frac{2+2\sqrt{2}}{2}$=1+$\sqrt{2}$，或2^x=$\frac{2-\sqrt{4+4}}{2}$=1-$\sqrt{2}$（舍），
若x＜0，則方程等價為2^x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$=2，即2^x-2^x=2，
即0=2，此時方程無解，
綜上2^x=1+$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查指數(shù)方程的求解，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．