Question

在△ABC中，滿足：，M是BC的中點(diǎn)．
（I）若，求向量．與向量的夾角的余弦值；
（II）若O是線段AM上任意一點(diǎn)，且，求的最小值；
（3）若點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式得到，利用向量的數(shù)量積公式展開，求出向量．與向量的夾角的余弦值；
（II）通過解三角形求出AM的長，設(shè)，則，利用向量的平行四邊形法則得到而
，利用向量的數(shù)量積公式將表示成關(guān)于x的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值求出最小值．
（III）設(shè)∠CAP=α，將已知條件利用向量的數(shù)量積公式表示成關(guān)于α的三角函數(shù)，將平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的三角函數(shù)，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（I）設(shè)向量．與向量的夾角為θ
∴，
令=a
∴
（II）∵=，
∴
設(shè)，則，
而
∴
=-2x（1-x）=2x²-2x=
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是
（III）設(shè)∠CAP=α
∵
∴
∴
當(dāng)且僅當(dāng)
點(diǎn)評：解決向量的夾角問題，一般利用的是向量的數(shù)量積公式．是一道綜合題．