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在△ABC中，滿足：
AB
⊥
AC
，M是BC的中點．
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角的余弦值；
（2）若點P是BC邊上一點，|
AP
|=2，且
AP
•
AC
=2
AP
•
AB
=2，求|
AB
+
AC
+
AP
|的最小值．
分析：（1）根據向量數量積的公式，建立方程關系即可求
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角的余弦值；
（2）根據數量積公式直接求向量長度，利用基本不等式求向量長度的最值．
解答：解：（1）設向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角為θ
∴cosθ=
(
AB
+2
AC
)•(2
AB
+
AC
)
|
AB
+2
AC
||2
AB
+
AC
|
，
令|
AB
|=|
AC
|=a
∴cosθ=
2a2+2a2
5
a•
5
a
=
4
5
．
（2）設∠CAP=α⇒∠BAP=
π
2
-α
∵
AP
•
AC
=2，
AP
•
AB
=1，|
AP
|=2
∴2•|
AC
|cosα=2⇒|
AC
|=
1
cosα
，2•|
AB
|cos(
π
2
-α)=1⇒|
AB
|=
1
2sinα
-2分
∴|
AB
+
AC
+
AP
|2=
AB
2+
AC
2+
AP
2+2
AB
•
AC
+2
AC
•
AP
+2
AB
•
AP
=
1
cos2α
+
1
4sin2α
+4+2+4--3
=
sin2α+cos2α
cos2α
+
sin2α+cos2α
4sin2α
+10
=
sin2α
cos2α
+
cos2α
4sin2α
+
45
4
≥2
sin2α
cos2α
cos2α
4sin2α
+
45
4
=1+
45
4
=
49
4

當且僅當
sin2α
cos2α
=
cos2α
4sin2α
⇒tanα=
2
2
時，
|
AB
+
AC
+
AP
|min=
7
2
．
點評：本題主要考查平面向量數量積的應用，要求熟練掌握向量的數量積公式，考查學生的計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足tan
A-B
2
=
a-b
a+b
．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）當a=10，c=10時，求tan
A
2
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足tanA•tanB＞1，則這個三角形是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圓半徑為
2
．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面積S的最大值，并判斷此時的三角形形狀．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足
AB
與
AC
的夾角為60°，M是AB的中點，
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
與
AB
的夾角的余弦值；．
（2）若|
AB
|=2，|
BC
|=2
3
，點D在邊AC上，且
AD
=λ
AC
，如果
MD
•
AC
=0，求λ的值．

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