Question

8．過(guò)兩點(diǎn)P₁（2，2），P₂（-3，-1）作一個(gè)橢圓，使它的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，求橢圓的方程，橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)度以及離心率．

Answer 1

分析 設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，及橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)度以及離心率．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵過(guò)兩點(diǎn)P₁（2，2），P₂（-3，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=1}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a²=$\frac{32}{3}$，b²=$\frac{32}{5}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{3{x}^{2}}{32}$+$\frac{5{y}^{2}}{32}$=1；
即有a=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$，
則橢圓的長(zhǎng)半軸為$\frac{4\sqrt{6}}{3}$、短半軸為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和基本性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．