Question

已知函數(shù)f（x）=

ax+1

x+2

．
（1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）在（-2，+∞）上的單調(diào)性并用定義證明；
（2）若函數(shù)f（x）=

ax+1

x+2

在（-2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=1，解析式明確，直接根據(jù)定義判斷并證明單調(diào)性即可．
（2）受第一問的啟發(fā)，可由單調(diào)性知道f（x₁）-f（x₂）的符號，從而列出關(guān)于a的不等式．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=

x+1

x+2

，函數(shù)f（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增．
下面證明：
設(shè)-2＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

x1+1

x1+2

-

x2+1

x2+2

=

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)-2＜x₁＜x₂，
因為函數(shù)f（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以有f(x1)-f(x2)=

ax1+1

x1+2

-

ax2+1

x2+2

=

(2a-1)(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

＜0，
∵-2＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
所以2a-1＞0，即a＞

1

2

，
所以實數(shù)a的取值范圍是(

1

2

，+∞)．

點評：本題主要考察函數(shù)單調(diào)性的定義，主要是第二問關(guān)于a的不等式的獲得．