Question

已知a＞b＞0，求證：e^a+e^-a＞e^b+e^-b．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：不妨設(shè)f（x）=e^x+e^-x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到單調(diào)區(qū)間，從而得到f（a）＞f（b），問題得證．

解答： 解：不妨設(shè)f（x）=e^x+e^-x，
法1：∴f（a）=e^a+e^-a，f（b）=e^b+e^-b，
∴f（a）-f（b）=e^a+

1

ea

-e^b-

1

eb

=

(ea-eb)(eaeb-1)

eaeb

，
∵a＞b＞0，
∴對于分子：e^a＞e^b，e^ae^b＞1，故分子大于0，
對于分母：e^ae^b＞0，
∴f（a）-f（b）＞0，
∴e^a+e^-a＞e^b+e^-b．
法2：∵f′（x）=e^x-

1

ex

=

(ex)2-1

ex

，
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，∴（e^x）²-1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴x＞0時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
∴f（a）＞f（b），
∴e^a+e^-a＞e^b+e^-b．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道基礎(chǔ)題．