Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sinωxsin（ωx+

π

3

）+k（ω＞0，k為常數(shù)）．
（1）若f（x）的圖象中相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離不小于

π

2

，求ω的取值范圍；
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

6

]時(shí)，f（x）的最大值是

1

2

，又f（α）=

3

5

，求f（

π

2

-α）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用函數(shù)的周期的一半不小于

π

2

，即可求ω的取值范圍；
（2）通過(guò)f（x）的最小正周期為π，求出函數(shù)的解析式，通過(guò)x∈[-

π

6

，

π

6

]完成相位的范圍，然后通過(guò)求解f（x）的最大值是

1

2

，又f（α）=

3

5

，利用兩角和與差的三角函數(shù)求f（

π

2

-α）的值．

解答： 解：（1）f（x）=2sinωxsin（ωx+

π

3

）+k
=sin²ωx+

3

sinωxcosωx+k
=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+k+

1

2

   …（6分）
由題意知

T

2

≥

π

2

，得ω的取值范圍為0＜ω≤1  …（8分）
（2）若f（x）的最小正周期為π，得ω=1     …（9分）
f（x）=sin（2x-

π

6

）+k+

1

2

，有f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

6

]上為增函數(shù)，
所以f（x）的最大值為f（

π

6

）=1+k=

1

2

，則k=-

1

2

，…（11分）
所以f（α）=sin（2α-

π

6

）=

3

5

，所以cos（2α-

π

6

）=±

4

5

  …（12分）
f（

π

2

-α）=sin（2α+

π

6

）
=sin（2α-

π

6

+

π

3

）
=

1

2

sin（2α-

π

6

）+

3

2

cos(2α-

π

6

)
=

3+4 3

10

或

3-4 3

10

      …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．