【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)， 為原點(diǎn).

①求證： ；

②設(shè)、分別與橢圓相交于、兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，證明: 為定值.

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓過(guò)定點(diǎn)以及橢圓的離心率可得，解得的值，由橢圓的定義可得的值，將的值代入橢圓方程即可得答案；（2）①設(shè)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)的直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系分析計(jì)算的值，由向量數(shù)量積的性質(zhì)可得證明；②直線 與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理及平面向量數(shù)量積公式可得， 的等量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得結(jié)果.

試題解析：(1) ，所以，又，解得，，

所以橢圓的方程為

（2）①證明：設(shè)、，依題意，直線一定有斜率， 的方程為，

聯(lián)立方程消去得 ，，又，，

②證明：設(shè)、，直線的方程為，，，，聯(lián)立方程消去得 ，

，，

而

由 得

，即. 所以為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)，），其中，在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線，曲線.

（Ⅰ）求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)系；

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.

（1）求曲線的方程；

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（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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(Ⅰ)求橢圓的方程；

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（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并給予證明；
（3）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＜2對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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