Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的極大值點(diǎn)；

（2）當(dāng)，時(shí)，若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，安照、、三種情況討論的極大值點(diǎn)；

（2）設(shè)切點(diǎn)，利用該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率、切線過點(diǎn)兩個(gè)條件整理得到關(guān)于的方程，進(jìn)一步研究函數(shù)的取值情況.

解：（1），

令，得或．

若，則當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時(shí)的極大值點(diǎn)為；

若，則當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時(shí)的極大值點(diǎn)為；

若，在上單調(diào)遞增，無極值．

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，

則，且切線斜率，

所以切線方程為，

因此，整理得，

構(gòu)造函數(shù)，

則“若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有三個(gè)不同的零點(diǎn)”，，與的關(guān)系如下表：

	+	0		0	+
		極大值		極小值

所以的極大值為，極小值為，

要使有三個(gè)解，即且，解得．

因此，當(dāng)過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí)，

t的取值范圍是．