Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個公共點(diǎn)恰好在x軸上，求a的值；
（2）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的兩根，且滿足0＜p＜q＜

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a

，證明：當(dāng)x∈（0，p）時，g（x）＜f（x）＜p-a．

Answer 1

（1）設(shè)函數(shù)g（x）圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），（2分）
∵點(diǎn)（a，0）也在函數(shù)f（x）的圖象上，∴a³+a²=0．（4分）
而a≠0，∴a=-1． （6分）
（2）由題意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）．（8分）
當(dāng)x∈（0，p）時，∵0＜x＜p＜q＜

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a

，
∴a（x-p）（x-q）＞0，
即當(dāng)x∈（0，p）時，f（x）-g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．（10分）
又f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），
當(dāng)x∈（0，p）時，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，
∴f（x）-（p-a）＜0，
∴f（x）＜p-a，
綜上可知，g（x）＜f（x）＜p-a．（14分）