Question

△ABC中，如果滿足sinB（1+cosA）≥（2-cosB）sinA，則A的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：由條件利用三角恒等變換求得sinB+sinC≥2sinA，再由正弦定理可得b+c≥a，故邊a不是最大邊，故A為銳角．再利用和差化積公式求得sinA≤2sin（90°-

A

2

），可得 A≤90°-

A

2

，從而求得A的范圍．

解答： 解：△ABC中，∵sinB（1+cosA）≥（2-cosB）sinA，sinB+sinBcosA+cosBsinA≥2sinA，
即sinB+sin（A+B）≥2sinA，∴sinB+sinC≥2sinA，再由正弦定理可得b+c≥a，故邊a不是最大邊，故A為銳角．
再利用和差化積公式可得 2sin

B+C

2

cos

B-C

2

≥2sinA，∴sinA≤2sin

B+C

2

=2sin（90°-

A

2

），
∴A≤90°-

A

2

，∴0＜A≤60°，
故答案為：（0，60°]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．