Question

(本小題滿分12分) 如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=,高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記BE＝x，V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積.

（Ⅰ）求V(x)的表達式；   
（Ⅱ）當x為何值時，V(x)取得最大值？

Answer 1

(1) V(x)== = ，(0<x<3)
(2) x=6時， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12

（1）由已知可得PE為四棱錐的高，四棱錐的底面積

 ，又，=，
=代入體積公式得，(0<x<3)；
（2）多項式函數利用導數研究其單調性可求得最值。
解：(1)已知EFAB,那么翻折后，顯然有PEEF,又PEAE,
從而PE面ABC,即PE為四棱錐的高。
四棱錐的底面積 
而△BEF與△BDC相似，那么=，
==，
又   
則===
故四棱錐的體積V(x)== = ，(0<x<3)
(2) V’(x)=  ，(0<x<3)    令V’(x)=0得x=6
當x∈(0，6)時，V’(x)>0,V(x)單調遞增；x∈(6，3)時V’(x)><0,V(x)單調遞減；
因此x=6時， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12