Question

（2011•晉中三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c₁的參數(shù)方程為：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），把曲線c₁上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮為原來的一半得到曲線c₂，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為

2

ρcos(θ-

π

4

)=4．
（1）求曲線c₂的普通方程，并指明曲線類型；
（2）過（1，0）點(diǎn)與l垂直的直線l₁與曲線c₂相交與A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由

x=2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），得到曲線c₁的參數(shù)方程為：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）．再cosθ=

x

2

，sinθ= y利用三角函數(shù)的性質(zhì)能夠得到曲線c₁的普通方程，由此能求出曲線c₂及其曲線類型．
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4，直線l₁的直角坐標(biāo)方程為x-y=1．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）由

x-y=1 x2 4 +y2=1

得3x²-8x=0，由此能求出弦AB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）由題曲線c₁的參數(shù)方程為：

x=2cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）…（2分）
∴曲線c₁的普通方程為

x2

4

+y2=1，
∵曲線c₁上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮為原來的一半得到曲線c₂，
∴曲線c₂：

x2

4

+4y2=1，表示以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為

1

2

的橢圓．…（5分）
（2）∵直線l的極坐標(biāo)方程為

2

ρcos(θ-

π

4

)=4，
即：ρcosθ+ρsinθ=4
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=4…（7分）
∴直線l₁的直角坐標(biāo)方程為x-y=1，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由

x-y=1 x2 4 +y2=1

，
得3x²-8x=0
∴x1+x2=

8

3

，x1x2=0
∴|AB|=

1+1

64

3

=

8

3

2

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，正確地把曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程．