Question

某校高一學(xué)生1000人，每周一次同時在兩個可容納600人的會議室，開設(shè)“音樂欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的校本課程．要求每個學(xué)生都參加，要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數(shù)為m（400＜m＜600），其余的人聽“美術(shù)鑒賞”課；從第二次起，學(xué)生可從兩個課中自由選擇．據(jù)往屆經(jīng)驗，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學(xué)生，下一次會有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會有30%改選“音樂欣賞”，用a_n，b_n分別表示在第n次選“音樂欣賞”課的人數(shù)和選“美術(shù)鑒賞”課的人數(shù)．
（1）若m=500，分別求出第二次，第三次選“音樂欣賞”課的人數(shù)a₂，a₃；
（2）①證明數(shù)列{a_n-600}是等比數(shù)列，并用n表示a_n；
②若要求前十次參加“音樂欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜尾怀�過5800，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知a_n+b_n=1000，根據(jù)凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學(xué)生，下一次會有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會有30%改選“音樂欣賞”，即可得出結(jié)論；
（2）①由題意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，a_n+b_n=1000，即可證明數(shù)列{a_n-600}是等比數(shù)列，并用n表示a_n；
②由已知，S₁₀≤5800，即可確定m的取值范圍．

解答： （1）解：由已知a_n+b_n=1000，
又a₁=500，∴b₁=500，…（1分）
∴a₂=0.8a₁+0.3b₁=550，…（2分）
∴b₂=450，
∴a₃=0.8a₂+0.3b₂=440+135=575．…（4分）
（2）證明：①由題意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，
∴a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，…（5分）
∴an+1-600=

1

2

(an-600)，…（6分）
∵m∈（400，600），∴a₁-600≠0，
∴數(shù)列{a_n-600}是等比數(shù)列，公比為

1

2

，首項為m-600…（7分）
∴an-600=(m-600)×(

1

2

)n-1，
得an=600+(m-600)×(

1

2

)n-1…（8分）
②解：前十次聽“音樂欣賞”課的學(xué)生總?cè)舜渭礊閿?shù)列{a_n}的前10項和S₁₀，S10=6000+(m-600)×(1+

1

2

+…+

1

29

)=6000+(m-600)×

1023

512

，…（10分）
由已知，S₁₀≤5800，得600+(m-600)×

1023

5120

≤580⇒20≤(600-m)×

1023

5120

，
∴600-m≥

20×5120

1023

，∴m≤600-100.1，…（12分）
∵m∈N^*，∴m的取值范圍是400＜m≤499，且m∈N^*．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查求數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列遞推式，從而確定數(shù)列的通項．