Question

【題目】已知斜三棱柱，，，，，.

（1）求的長；

（2）求與面所成的角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)方法一:由,,推出面,故,則可利用勾股定理解出;方法一:如圖所示以為原點,以為軸,為軸,豎直向上為軸,建立空間直角坐標系,因為面,即平面等同于平面,因而可以利用坐標求出;

(2)方法一:延長,過作于,因為面,所以面面,所以面,所以為與面所成角,等價于與面所成的角,最后結合數據解三角形即可；方法二:建系后可以利用向量法求出與面所成的角的正切值.

解:方法一:(1)因為,,,

所以面,

故,所以,

于是;

(2)延長,過作于,

由(1)知面,所以面面,

又面面,,面,

所以面,

所以為與面所成角,

在中可得,故,,

所以,

又因為,面面,

故與面所成的角即為與面所成的角,

所以與面所成的角的正切值為.

方法二:(1)如圖所示以為原點,為軸,為軸,豎直向上為軸,

建立空間直角坐標系,則,,

因為,,,

所以面,即平面等同于平面,

又因為,,

所以的坐標為,

所以;

(2)因為,面面,

故與面所成的角即與面所成的角,設其夾角為,

易得面的法向量為,且,

所以,

所以,

所以與面所成的角的正切值為.