Question

4．已知正數a，b，c滿足abc=1，$\frac{1}{3a+1}$+$\frac{1}{3b+1}$+$\frac{1}{3c+1}$≥$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據條件及平均值不等式，（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=3（a+b+c）+3≥12，而根據柯西不等式[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]$（\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}）$≥9，這樣便可得出$12（\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}）≥9$，從而得出$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}≥\frac{3}{4}$，當a=b=c=1時取“=”．

解答 證明：a，b，c為正數，abc=1；
∴（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=3（a+b+c）+3≥9$\root{3}{abc}+3$=12，當且僅當a=b=c時取“=”；
根據柯西不等式：[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]（$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}$）$≥（\sqrt{3a+1}•\frac{1}{\sqrt{3a+1}}+\sqrt{3b+1}•\frac{1}{\sqrt{3b+1}}+\sqrt{3c+1}•\frac{1}{\sqrt{3c+1}}）^{2}=9$，當且僅當3a+1=3b+1=3c+1，即a=b=c=1時取“=”；
∴$12（\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}）≥9$，當a=b=c=1時取“=”；
∴$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}≥\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$；
即$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}≥\frac{3}{4}$．

點評 考查平均值不等式及柯西不等式的形式，而根據柯西不等式的形式結合已知條件進行配湊，是解決本題的關鍵所在，注意等號成立的條件，判斷等號能否同時成立．